Доказательство что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9

Рассмотрим математическое утверждение: сумма кубов любых трех последовательных натуральных чисел делится на 9. Докажем это утверждение алгебраически.

Формулировка задачи

Пусть даны три последовательных натуральных числа: n, n+1 и n+2. Требуется доказать, что выражение n³ + (n+1)³ + (n+2)³ делится на 9 без остатка.

Алгебраическое доказательство

1. Раскроем кубы

Выпишем выражение для суммы кубов:

• n³ = n³
• (n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1
• (n+2)³ = n³ + 6n² + 12n + 8

2. Сложим все компоненты

Сумма кубов будет равна:

3. Преобразуем выражение

Вынесем общие множители:

• 3n³ + 9n² + 15n + 9 = 3n(n² + 3n + 5) + 9
• Можно представить как: 3(n³ + 3n² + 5n + 3)

4. Докажем делимость на 9

Преобразуем исходное выражение:

1. 3n³ + 9n² + 15n + 9 = 3(n³ + 3n² + 5n + 3)
2. Покажем, что (n³ + 3n² + 5n + 3) делится на 3
3. Рассмотрим три случая для n mod 3:
   • n ≡ 0 mod 3: все слагаемые делятся на 3
   • n ≡ 1 mod 3: 1 + 3 + 5 + 3 = 12 ≡ 0 mod 3
   • n ≡ 2 mod 3: 8 + 12 + 10 + 3 = 33 ≡ 0 mod 3

Примеры

Вывод

Мы доказали, что для любого натурального n сумма кубов трех последовательных чисел n³ + (n+1)³ + (n+2)³ делится на 9. Это следует из алгебраических преобразований и анализа остатков при делении на 3.